第118章 三种解法
第118章 三种解法 (第1/3页)
苏晓柔的讲解清晰而耐心。她从最基本的三角形定义、平行线性质讲起，引出中位线的概念，然后用相似三角形严谨地证明了中位线定理，最后再回归到那道重心证明题，用“同一法”将整个证明过程完整地演绎了一遍。
聂虎凝神静听，如同干涸的土地汲取甘霖。苏晓柔的讲解，条理分明，逻辑严谨，将他脑海中那些零散的、模糊的几何知识碎片，一点点串联、拼接起来，形成了一张清晰的网。那些原本晦涩的定理、性质，在她的解说下，仿佛被擦去了尘埃，显露出简洁而优美的本质。
“原来是这样……”当苏晓柔放下笔，轻轻舒了口气时，聂虎盯着草稿纸上那一步步严密的推导，眼神发亮，心中有种拨云见日的通透感。苏晓柔的解法，是利用几何图形的固有性质和定理，通过逻辑推演，一步步逼近结论，是标准的、教科书式的思路，严谨、优美，但对他而言，更像是沿着一条已经铺好的、笔直的道路前行，虽然清晰，却少了自己披荆斩棘、开山辟路的探索感。
“苏同学讲的非常清楚，我明白了。”聂虎真诚地道谢，但目光却并未从图形上移开，眉头微蹙，似乎仍在思索着什么。
苏晓柔看着聂虎专注的神情，心中微微一动。她能感觉到，聂虎并非仅仅在理解她的解法，他似乎还在用另一种方式思考这个问题。“聂虎同学，你……是不是还有别的想法？”她试探着问，语气里带着一丝好奇。她见过太多同学面对难题时的茫然或死记硬背，却很少见到像聂虎这样，在听懂了标准解法后，依然沉浸在自己思考世界里的人。
聂虎抬起头，眼中闪过一丝犹豫，但看到苏晓柔清澈而鼓励的目光，他还是点了点头，指了指草稿纸上的三角形：“苏同学的解法，是用图形本身的性质来推演，像……搭积木，一层层垒上去，最后得到结果。我在想，有没有别的‘搭’法，或者，从别的方向来看这个图形。”
他拿起笔，在干净的纸上重新画了一个三角形ABC，标出中点D、E、F。“苏同学用相似三角形，证明了如果AD和BE交于点G，那么AG是 G· D的两倍，BG是GE的两倍。这让我想到……平衡。”
“平衡？”苏晓柔眨了眨眼睛，对这个词用在几何证明上感到新奇。
“嗯。”聂虎点点头，手指点在G点的位置，“如果G是三条中线的交点，那么，从A、B、C三个顶点到这个点的‘影响力’，是不是应该有种平衡？就像……”他努力寻找着合适的比喻，“就像一根扁担，挑着两个重量一样的筐，支点就在正中间，两边平衡。现在有三个点，它们的‘重量’如果一样，那平衡点应该在哪里？”
苏晓柔听得有些入神，这个比喻虽然粗糙，但似乎触及了某种本质。她顺着聂虎的思路想下去：“三个顶点，可以看成三个质点数……如果质量相等，那么它们的重心，或者说质心，确实应该是中点连线的交点。但这需要用到物理或者更深的数学知识了吧？我们还没学过。”
“是不懂那些。”聂虎坦然承认，“但我看这个图，”他用笔尖从A点到D点画了一条线，“AD是A到BC中点的连线。我在想，如果我把整个三角形，看成从A点‘长’出来的，那么D点就是BC这条‘边’的中间。假设每条边都有一种‘拉力’或者‘影响力’，从顶点指向对边的中点，那么三条这样的‘力线’的交点，应该就是整个图形最‘稳’的那个点。这个点，到三个顶点的‘距离’，和到三边的‘距离’，可能有一种特别的比例关系，让整体达到一种……均衡。”
他说得有些磕绊，用了很多自己创造的、不太准确的词汇，如“影响力”、“拉力”、“稳”、“均衡”，但这并非物理上的力学概念，而是他结合“虎踞”桩功中对身体重心、力量平衡的感悟，以及对山中岩石、树木生长态势的观察，形成的一种模糊的、基于直觉和图像的空间想象。他将三角形看成了一个有“重心”的实体，三条中线则是维持其平衡的关键“骨架线”，交点则是“重心”所在。
苏晓柔起初听得有些困惑，但渐渐被聂虎这种奇特的、形象化的思考方式吸引了。她从未想过，一个纯粹的几何证明题，可以从“平衡”、“重心”、“影响力”这样的角度去理解。这已经有点接近物理的“质心”概念，甚至触及了向量和力学的边缘，但聂虎显然不知道那些术语，他只是凭借自己的感知和想象，构建了一个粗糙但有趣的模型。
“你是说，把几何图形，想象成一个有重量的、可以平衡的东西？”苏晓柔若有所思，“三条中线交于一点，这个点让三角形‘站’得最稳？”
“对，大概是这个意思。”聂虎见苏晓柔理解了自己的想法，眼睛更亮了，“但这个‘稳’，怎么用几何的方法说清楚，我还不知道。可能和距离的比例有关，比如G点到A、B、C的距离，和到对边的距离，是不是有个固定比例？我看刚才的证明里，AG=2G· D，这似乎是一个2:1的比例。另外两条中线，应该也有这个比例。三个2:1，是不是就构成了你说的‘平衡’？”
他一边说，一边在纸上写写画画。这次，他没有试图去证明三条线交于一点，而是先假设它们交于点G，然后尝试从这个“平衡点”的假设出发，去推导点G应该满足的条件。他设AG = 2 * G· D，设BG = 2 * GE，设
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