第117章 一道数学题
第117章 一道数学题 (第3/3页)
看了一眼自己草稿纸上的题目，笑了笑，将草稿纸转了个方向，推到桌子中间，方便聂虎看到：“不是课上的，是我在图书馆一本旧的数学杂志上看到的，觉得有点意思，就抄下来试着解解看。是道几何证明题，有点难。”她的语气自然，并没有因为聂虎是“倒数第三”而流露出任何轻视或不耐。
聂虎仔细看去。草稿纸上用铅笔画着一个三角形，旁边标注了一些字母和已知条件。题目是：在任意三角形ABC中，D、E、F分别是BC、CA、AB边上的中点，证明：AD、BE、CF三线交于一点（即重心）。
图形并不复杂，但证明过程显然不简单。苏晓柔在旁边写了一些推导步骤，似乎卡在了某个环节，用笔轻轻划了几道线，表示困惑。
聂虎看着这道题，眉头微微蹙起。三角形的中线交于一点，这个结论他在孙爷爷给他看的一本残破的《九章算术》注疏里似乎见过描述，但没有证明。这道题用的是字母和符号，表述方式很“新学”，但他能看懂意思。
他盯着图形，脑中飞快地回忆着这几天囫囵吞枣看过的几何知识。中点，连线……平行？比例？他尝试着在脑中构建图形，寻找其中的关系。忽然，他想起下午刚刚弄懂的那种“追及问题”的思路转换——直接设未知，用已知表示关系。
既然D是BC中点，那么从B到D和从D到C的距离相等，如果以B为起点，C为终点，设BC长度为a，那么BD = DC = a/2。但这似乎对证明三条线交于一点没什么直接帮助……
他又想到另一个思路。既然要证明交于一点，是否可以先假设两条中线，比如AD和BE，交于点G，然后证明点G也在CF上？或者，证明G到各顶点的距离有某种关系？
他拿过自己的草稿纸和笔，对苏晓柔说：“苏同学，我试试看，不一定对。” 苏晓柔有些惊讶，但随即点了点头，好奇地看着他。
聂虎在纸上重新画了一个三角形ABC，标出中点D、E、F。他先假设AD和BE交于点G。然后，他尝试用“坐标”的思路——这是他在一本更深的数学书上看到的模糊概念，还不甚理解，但隐约觉得可以用来描述点的位置。如果把A点当作原点，AB方向作为一条数轴……不行，太复杂，而且他不熟悉。
他换了个思路。既然D是BC中点，那么向量BD = 向量DC？不，方向相反。他卡住了。
苏晓柔见他眉头紧锁，时而画图，时而演算，时而又停笔沉思，完全沉浸其中，与平时沉默寡言的样子判若两人。她注意到，聂虎的草稿纸上，除了几何图形和算式，还有一些奇怪的、类似标记方位和力道的符号，似乎是他自己独特的思考方式。
“要不要看看我的思路？”苏晓柔轻声开口，用铅笔指着自己草稿纸上的一行式子，“我是想，连接DE，因为D、E都是中点，所以DE平行于AB，且等于AB的一半。然后，如果AD和BE交于G，可以尝试证明三角形AGB和三角形DGE相似，或者通过面积来证……”
聂虎听着苏晓柔的思路，眼睛渐渐亮了起来。平行！相似三角形！这些概念他这几天刚在《几何初步》里看到过，虽然还不熟练，但苏晓柔一点拨，他立刻有了方向。
“平行……相似……”聂虎喃喃自语，手指在草稿纸上快速划动，“DE平行AB，所以角G· DE = 角GAB，角GED = 角GBA……那么三角形G· DE和三角形GAB相似！相似比是1:2，因为DE是AB的一半！所以，AG = 2 * G· D，BG = 2 * GE！”
他越说越快，思路如同开闸的洪水，汹涌而出：“同理，如果连接EF，EF平行于BC，且等于BC的一半，那么BE和CF的交点，如果也叫G'，同样可以证明G'B = 2 * G'E，G'C = 2 * G'F。而AD和BE的交点G，满足BG = 2 * GE。那么，如果G和G'是同一点，就需要BG = 2 * GE 且 BG' = 2 * G'E 同时成立，这要求E到B的距离和比例一致……等等，我好像绕进去了……”
聂虎停了下来，眉头又皱紧了。相似三角形能推出比例关系，但怎么证明那个交点就是同一点呢？
苏晓柔眼睛却亮了。她没想到聂虎这么快就能想到相似三角形，而且推导出了关键的比例关系。虽然最后卡住了，但这个思路已经非常接近标准解法之一了。她拿起笔，在聂虎的草稿纸上接着写下去：“不用绕。既然三角形G· DE和GAB相似，且DE平行于AB，那么对应点的连线是共点的……或者说，我们可以用同一法。假设AD和BE交于G，连接CG并延长交AB于F'，我们只需要证明F'就是AB的中点F。利用相似和比例，可以证明AF' = F'B。所以F'就是F，因此CF也经过G。这就证明了三条中线交于一点。”
她一边说，一边流畅地写下证明步骤。虽然有些术语聂虎还不甚明了，但整体的逻辑链条，他却看懂了。利用相似三角形推出比例，再反推中点，环环相扣，严谨而优美。
“原来如此……同一法……”聂虎看着苏晓柔清晰的演算，心中有种豁然开朗的感觉，同时也感到深深的震撼。这道题，苏晓柔不仅会做，而且思路清晰，表述严谨。而自己，虽然摸索到了一点边，却远远不及。这就是差距，实实在在的差距。
“苏同学，你真厉害。”聂虎由衷地赞叹道，语气里没有丝毫嫉妒或自卑，只有纯粹的佩服和求知的渴望，“这个‘同一法’，还有相似三角形的运用，我还没完全掌握。你能再给我讲讲，这里，为什么DE一定平行于AB，且等于AB的一半吗？我记得书上有个‘中位线定理’，是不是就是这个？”
苏晓柔看着聂虎清澈而专注的眼睛，那里面没有丝毫的虚伪或掩饰，只有对弄懂问题的迫切。她的脸颊微微有些发热，不是因为异性的注视，而是因为一种被认真对待、被真诚请教的满足感。她点点头，拿起笔，在草稿纸上重新画了一个清晰的三角形，开始耐心地讲解起来：“是的，这就是三角形中位线定理。你看，连接三角形两边中点的线段，叫做中位线。它的性质就是平行于第三边，并且等于第三边的一半。证明可以用相似，也可以连接顶点构造平行四边形……”
昏黄的灯光下，少女清润的讲解声和少年偶尔的提问声，交织在一起。窗外的天色彻底暗了下来，图书馆里越发安静，只有笔尖划过纸张的沙沙声，和两人低声的探讨。那些嘲讽、那些冲突、那些潜在的危险，似乎都被隔绝在这方小小的、堆满书籍的天地之外。此刻，只有一道题，两种思维的交汇，和一种名为“求知”的纯粹光芒，在默默闪耀。